2. Die Kreiszahl

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Urheber: geralt

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Dass wir den Kreis und seine GrĂ¶ĂŸen heute problemlos berechnen können, ist kein Zufall. Bereits vor ĂŒber 1000 Jahren versuchten schlaue Köpfe, die Geheimnisse des Kreises zu lösen. Genaueres erfĂ€hrst du im Video im Ausschnitt 02:26 - 06:10.

2.1 Die Suche nach der Kreiszahl

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Supercodes (1/2): Bauplan der Erde
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Zusatz: Interessiert es dich, wie Archimedes ganz ohne Computer und Taschenrechner π bestimmt hat?

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Klicke auf die zwei fehlenden KÀstchen im GeoGebra-Fenster. In allen vier muss ein HÀkchen sein. Ziehe dann an den Schiebereglern. 

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Urheber: Camylle Buck 

Quelle: https://www.geogebra.org/m/cCT...

2.2 Die Kreiszahl und der Umfang des Kreises

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Zur Berechnung des Kreisumfangs brauchen wir die Kreiszahl π. Aber wie kommt man auf die komplette Formel? 

Bewege den Kreis im GeoGebra-Fenster, indem du am blauen Punkt ziehst und stelle eine Vermutung auf. 

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Urheber: mnerlich 

Quelle: https://www.geogebra.org/m/vy4...

Förderfenster: Wie funktioniert eine mathematische Formel?

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Den Kreisumfang berechnet man mit dieser Formel:

u = π * d

Buchstaben können Mathe noch schwerer aussehen lassen.

Keine Angst vor Buchstaben! Ich helfe dir.

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Lass es mich mithilfe eines Donuts erklÀren:
Manche Donutshops bieten an, sich online den persönlichen Lieblingsdonut zusammenzustellen. Das sieht dann ungefÀhr so aus.

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Um deinen Lieblingsdonut zu erstellen, musst du dir nur deine LieblingsgeschmÀcker raussuchen.
Wie wĂŒrde dein Lieblingsdonut aussehen? Schreibe auf.

Der Konfigurator gibt dir genau vor, welche Bestandteile deines Donuts du gestalten kannst. Das erkennst du an den Worten. In diesem Fall:

FĂŒllung, Glasur und Topping.

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An der Stelle, an der die Wörter FĂŒllung, Glasur und Topping stehen, musst du deine LieblingsgeschmĂ€cker einsetzen.

Damit gibst du dem BĂ€cker eine Bauanleitung fĂŒr deinen Donut.

Du könntest es auch als Text schreiben, das wĂ€re aber viel unĂŒbersichtlicher.

Mit der Bauanleitung sieht der BĂ€cker viel schneller, was er machen muss.

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Eine mathematische Formel funktioniert wie ein Donutkonfigurator.

-> Achtung! Es wird mathematisch.

Nehmen wir an, der Umfang eines Kreises wÀre ein Donut.

Der Umfang wird gesucht.

Der Konfigurator wĂŒrde uns Folgendes vorgeben:

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Die Formel sagt dir: Dort, wo d (Durchmesser) steht, musst du die GrĂ¶ĂŸe des Durchmessers einsetzen.

Diese erfÀhrst du in der Aufgabenstellung.

Aufgabe:

Der Durchmesser des Kreises ist 3 cm.

Gegeben ist in diesem Fall: d = 3 cm.

π kann man nicht verĂ€ndern, es gehört immer dazu.

Jetzt bist du dran. Notiere dir die Formel und die Rechnung.

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Die Bauanleitung fĂŒr unseren Kreisumfang-Donut wĂŒrde dann so aussehen. Hast du das auch?

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Um den Umfang eines Kreises zu berechnen, musst du zunĂ€chst seinen Durchmesser kennen. In dieser Aufgabe ist der Durchmesser des Kreises gleich 3 cm. Nun mĂŒssen wir nur noch 3 cm mit der Kreiszahl π multiplizieren, dann erhĂ€ltst du den Umfang.

Du siehst: Eine Formel ist als Bauanleitung praktischer als der Text. Man kann sie schneller lesen.

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Wenn du dich nun in die Rolle des BĂ€ckers hineinversetzt, musst du nur noch der Anleitung folgen, um diesen Donut zu bauen.

Rechnung:

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Anders gesagt:

Gesucht: Umfang des Kreises u

gegeben: d = 3 cm

Jetzt bist du dran! Berechne und denke an den Antwortsatz.

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Vergleiche deine Lösung.

Ein Kreis hat einen Durchmesser von 4 cm. Wie groß ist sein Umfang? Berechne.

Notiere dir: gesucht, gegeben, Formel, Rechnung und Antwortsatz.

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Vergleiche deine Lösung.

Was solltest du dir merken?

Eine Formel sagt dir, an welcher Stelle du welche Zahl einsetzen musst, um eine andere Zahl zu berechnen.

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Formel zur Berechnung des Umfangs eines Kreises

u = d * π 
oder 
u = 2 * r * π

d = Durchmesser; r = Radius 

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Jetzt bist du dran. Ziehe die Elemente in die KÀstchen, um die Gleichung aufzustellen. 

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Aufgabe

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Berechne den Umfang der Kreise. 

2.3 Sinnvolles Runden

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Richtig runden

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Bearbeite die folgenden Aufgaben. 
Schiebe den Regler anschließend nach rechts, um dir die ausfĂŒhrliche Lösung anzusehen. 

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π sinnvoll runden

π ist eine unendlich lange Zahl. 

Meistens wird sie jedoch auf zwei Nachkommastellen gerundet. Du kannst im Folgenden also mit π ≈ 3,14 rechnen. 

Förderfenster: Wie arbeite ich mit Textaufgaben?

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Textaufgaben sind bei SchĂŒlern unbeliebt.

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Was wird mit diesem Rezept gebacken?
Erstelle eine Zutatenliste!

Versuche aus diesem Text eine Zutatenliste fĂŒr das Rezept zu erstellen.

Lösung:

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Hast du alle Zutaten herausgelesen?

Was hat das mit Textaufgaben zu tun?

Sehr viel.

Eine Textaufgabe funktioniert wie ein Rezept


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Der GÀrtner legt ein rundes Blumenbeet an. Der Durchmesser betrÀgt 2,5 m.

Er steckt den Umfang mit einer Schnur ab.

Berechne den Umfang des Beetes! Wie lang ist die Schnur?

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Du weißt, was gegeben und was gesucht ist.

Jetzt frage dich: Welche Formel benutze ich fĂŒr diese Berechnung?

Stelle nun die Rechnung auf. Wie funktioniert das? (AUDIOAUFNAHME FEHLT)

Ganz einfach: Wie ein Rezept zeigt dir die Formel die Zutaten, die du brauchst.

u = π * d

π ist immer 3,14.

Die zweite Zutat fĂŒr unseren Umfang ist der Durchmesser.

Der ist mit 2,5 m gegeben.

Gegeben: Durchmesser d = 2,5 m

Gesucht: Umfang u

Formel: u = π * d

Rechnung: u = 3,14 * 2,5 m

Antwortsatz:

Berechne mit dem Taschenrechner.

Gegeben: Durchmesser d = 2,5 m

Gesucht: Umfang u

Formel: u = π * d

Rechnung: u = 3,14 * 2,5 m                     

                        u = 7,85 m

Antwortsatz:

Wie schreibt man den Antwortsatz?

Textaufgaben enden meist mit einer Frage oder einer Aufforderung. 

In diesem Beispiel war die Aufforderung: 

Berechne den Umfang des Beetes!

Und die Frage:

Wie lang ist die Schnur?

Die Frage kannst du jetzt beantworten.

Antwortsatz: „Die LĂ€nge der Schnur betrĂ€gt 7,85 m.“ oder „Die Schnur muss 7,85 m lang sein.“

Folgendes Vorgehen kannst du dir bei Textaufgaben merken:

  1. Welche wichtigen Informationen sind gegeben?
  2. Was ist gesucht?
  3. Wie kannst du es berechnen? Notiere die Formel!
  4. FĂŒlle die Formel 

  5. Berechne!
  6. Schreibe den Antwortsatz!

Jetzt bist du dran:

Ein runder Pool soll gebaut werden. Sein Umfang wird mit einer Schnur abgesteckt. Der Durchmesser betrÀgt 4 m. Wie lang ist diese Schnur (der Umfang des Pools)?

4. FĂŒlle die Formel 
 und 5. Berechne!

u = 3,14 * 4 m

u = 12,56 m

6. Schreibe einen Antwortsatz

Antwort: Der Umfang des Pools betrÀgt 12,56 m. Die Schnur ist daher 12,56 m lang.

Jetzt du ganz allein:

Ein Kochtopf hat einen Durchmesser von 20 cm. Wie groß ist sein Umfang?

Gegeben: d = 20 cm

Gesucht: Umfang des Kochtopfes

Formel: u = π *d

Rechnung: u = 3,14 * 20 cm

                  u = 62,8 cm

Antwortsatz: Der Umfang des Topfes betrÀgt 62,8 cm (AUDIO)

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Aufgabe

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Um ein rundes Blumenbeet zu pflanzen, muss zunÀchst der Umfang des Beets mit einer Schnur abgesteckt werden. 
Berechne die LÀnge der Schnur, wenn das Beet: 

a.) einen Durchmesser von 2,5 m hat. 

b.) einen Durchmesser von 3,3 m hat. 

c.) einen Radius von 1,7 m hat. 

Runde jeweils auf eine Nachkommastelle. 

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Aufgabe

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Urheber: blende12

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PD

Der Durchmesser d des Einrads betrÀgt 20 Zoll (1 Zoll = 2,54 cm). 
Welche Strecke legt der Affe zurĂŒck, wenn sich das Rad: 

a.) einmal komplett dreht?

b.) zweimal komplett dreht? 

c.) zehnmal komplett dreht?

Runde auf 2 Nachkommastellen. 

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Aufgabe

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Urheber: Sekau67

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Das London Eye ist das grĂ¶ĂŸte Riesenrad Europas. 
Jede Gondel hat eine Entfernung von 61 m zum Mittelpunkt. 
Um es nachts zu beleuchten, muss eine Lichterkette um das Rad gesponnen werden. Wie lang ist diese Lichterkette? 
Runde auf eine Nachkommastelle.